David Leturcq

J'ai arrêté la recherche pour reprendre l'enseignement à l'été 2021. J'héberge ici une copie de ma page pour rester joignable pour les anciens collègues. Je ne compte pas reprendre la recherche dans le monde universitaire pour l'instant, il est peu vraisemblable que je revienne dessus. En revanche, si le temps me le permet, et si j'en trouve la motivation un jour, j'essaierai peut-être de pré-publier les derniers résultats que j'avais annoncés durant mon post-doc, pour l'instant encore dans mes brouillons.

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Adresse électronique : leturcq.d atsign orange.fr

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Sujets étudiés

Mon sujet principal est la théorie des nœuds, avec des méthodes qui font appel à des outils de topologie algébrique, et de géométrie différentielle.
Dans ma thèse, je me suis intéressé à des invariants d'isotopie de nœuds longs de dimension impaire, qui sont des plongements de Rn (n au moins 3) dans des espaces obtenus à partir de Rn+2 en remplaçant la boule unité par une variété compacte de même homologie entière et de même bord. Ces invariants sont construits en combinant le « comptage » de plusieurs graphes particuliers, dont certains sommets sont sur le nœud, et d'autres dans l'espace ambiant, ou, de manière équivalente, en calculant des intégrales sur des espaces de configurations associés au nœud. Dans le premier article de mon manuscrit, je donne des définitions plus flexibles de ces invariants, initialement uniquement définis pour les nœuds longs de Rn+2. Le second article utilise ces définitions flexibles pour calculer les invariants et les exprimer en fonction de nombres d'enlacements de certains cycles d'une hypersurface dont le bord est le nœud et de les relier aux polynômes d'Alexander des nœuds de haute dimension, ou, plus précisément, à la torsion de Reidemeister (i. e. le produit alterné des polynômes d'Alexander) de ces nœuds.
Dans un troisième article, je démontre que ces invariants sont bien définis en dimension 1, et je les relie au développement perturbatif de la thérie de Chern-Simons. Les résultats du second article permettent alors d'exprimer le polynôme d'Alexander des nœuds longs en fonction de ce développement perturbatif, ce qui généralise un résultat connu dans R3 aux R3 asymptotiques d'homologie rationnelle, par des arguments indépendants de la démonstration initiale.
Dans des travaux postérieurs, pour l'instant non rédigés, j'ai travaillé à définir ces invariants en dimension paire, ce qui permet d'étendre les formules du second article avec une démonstration semblable. Ce qui reste en revanche à l'état de travail inachevé pour l'instant est de définir des cocycles sur l'espace des plongements de Rn d'homologie asymptotiques dans des Rp d'homologie asymptotiques en utilisant les mêmes méthodes de comptage de diagrammes, en comptant une famille plus grande de diagrammes.

Thèse

Ma thèse de doctorat « Compter des configurations spatiales en dimension impaire avec la torsion de Reidemeister », soutenue le 3 juillet 2020, est disponible ici.

Articles

Une liste des trois articles rédigés et prépubliés sur ArXiv pendant ma période de recherche.